工程数学学报

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王雨薇, 荣喜民, 赵慧

2022 (1): 1-19. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.001

摘要 ( 49 )

PDF(15913KB) ( 52 )

研究了以破产概率最小化为目标的模糊厌恶型保险人的最优投资再保险问题。假设保险人可购买比例再保险，同时可投资于一个风险资产。保险人的盈余过程由扩散风险模型描述，风险资产的价格过程由常方差弹性 (CEV) 模型描述。根据动态规划原理建立了优化问题相应的 HJB 方程，针对特殊的弹性系数给出了保险人的最优鲁棒投资再保险策略的解析解。最后，通过数值模型分析了模型参数对最优投资-比例再保险策略和值函数的影响。研究发现保险人的模糊厌恶程度越高，其采取的投资再保险策略呈现出越保守的特点。

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扩散风险模型下保险公司和再保险公司之间的最优再保险策略选择博弈

林祥, 朱冠霞, 钱艺平

2022 (1): 20-36. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.002

摘要 ( 58 )

PDF(564KB) ( 48 )

保险公司可以根据再保险价格决定是否购买比例再保险及购买数量，同时再保险公司也可根据再保险价格决定是否承保以及承保数量。一个合理的再保险合约应该同时考虑保险公司和再保险公司的利益。在扩散风险模型下运用动态规划原理研究了保险公司和再保险公司之间的再保险策略选择博弈问题。在保险公司和再保险公司都具有指数效用函数条件下，得到了三种博弈情形下保险公司和再保险公司之间的再保险策略选择问题的显示解。结果显示，在适当的条件下，保险公司和再保险公司的效用都可以得到提高。最后，通过数值计算给出了最优比例再保险策略和再保险保费，以及效用损益与模型主要参数之间的关系，并给出相应的经济分析。

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面向航天器结构健康状态监测的数据压缩感知算法研究

李钰, 李晨, 王常龙, 梅占东, 张世一

2022 (1): 37-49. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.003

摘要 ( 48 )

PDF(2776KB) ( 40 )

航天器产品结构健康状态监测是保证其发射与在轨运行过程中安全平稳运行的重要环节，由于多个传感器在长时间监测过程中会产生大量数据并需要对其进行高效传输和存储，本文针对数据传输问题提出并证明了基于稀疏恢复技术的一种分式最小化模型算法和改进的分式筛选算法，并结合卫星振动试验数据与经典匹配追踪等算法进行了对比分析验证，对比结果表明，在航天器所处环境条件下，所提算法处理得到的数据恢复相对误差均低于两种现有算法，可以在较高压缩比的条件下保证数据恢复的精度，实现了低维数据到高维数据传输。

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基于无标度先验的有向无环图结构学习

苏温庆, 郭骁, 张海

2022 (1): 50-62. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.004

摘要 ( 70 )

PDF(693KB) ( 39 )

图模型是一种分析网络结构的有效方法，其中有向无环图由于可表示因果关系而受到广泛关注。而大量真实网络中节点的度服从幂律分布，即具有无标度特征。因此，研究了在无标度先验下，节点序已知的有向无环图结构学习问题。通过引入网络中节点度的信息和边的稀疏先验，提出罚项为 Log 型与 $l_q (0<q<1)$ 型惩罚函数复合的正则化模型，通过重赋权迭代算法求解该非凸模型，并分析了算法的收敛性。实验表明，对于模拟数据和真实数据，所提方法均有良好的网络结构学习能力。

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服务员休假的生产服务库存模型的稳态分析及最优生产策略

徐浩, 岳德权

2022 (1): 63-78. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.005

摘要 ( 46 )

PDF(219KB) ( 35 )

将服务员休假与生产服务库存相结合，研究带有服务员休假的 M/M/1 生产服务库存系统模型。需求 (顾客) 的到达过程服从 Poisson 过程，顾客的服务时间和每个产品的生产时间都服从指数分布。当系统库存为零时，服务员开始随机长度的休假。假设休假时间服从指数分布。首先，利用拟生灭过程理论给出了系统的稳态平衡条件。其次，对忽略服务时间的生产服务库存系统模型进行了稳态分析，得到了此系统的稳态概率的明显的解析表达式，进而证明了系统的稳态概率分布具有乘积解形式的结构。在此基础上，进一步得到了系统的一些稳态性能指标和费用函数的计算公式，数值求解了模型的最优 $(s,S)$ 库存策略，并研究系统的一些参数对性能指标、最优策略和最优费用的影响。

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一类含多时滞和扩散项的非标准离散模型

廖书, 方章英, 杨炜明

2022 (1): 79-92. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.006

摘要 ( 65 )

PDF(1324KB) ( 44 )

建立了一类以媒体效应作为主要预防传染病传播手段、并且含有多时滞和扩散项的传染病连续模型，并证明了该连续模型平衡点的全局稳定性。其次，利用非标准有限差分方法对该连续模型进行离散，离散后的模型具有和原连续模型一致的动力学性质。通过构造适当的李雅普诺夫函数，证明离散模型的平衡点在一定条件下也都是全局渐近稳定的。最后，数值模拟验证了理论结果。

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一种求解一维理想磁流体方程组的保正拉氏方法

邹世俊, 蔚喜军, 戴自换

2022 (1): 93-106. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.007

摘要 ( 64 )

PDF(931KB) ( 45 )

拉氏方法在计算流体力学中扮演了一个十分重要的角色，并且十分适合于处理含有强磁场的物理问题，例如 Z 箍缩、托卡马克、惯性约束聚变等等。在这些物理问题中密度和热力学压力总是非负的。然而，运用数值格式对上述方程进行逼近时，得到的近似解并不能总是保持这种正性。为了处理这一问题，首先构建了一种拉氏 HLLD 近似黎曼解，这一近似黎曼解在合适的信号速度下可以保持保正性质。运用这一黎曼解，提出了一种求解一维理想可压缩磁流体方程组的守恒保正拉氏格式。最后，给出一些数值算例来证明方法的保正性。

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部分线性变量含误差的网格数据模型的估计

马俊玲, 王立春

2022 (1): 107-119. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.008

摘要 ( 51 )

PDF(189KB) ( 33 )

针对网格数据构建了部分线性变量含误差模型。在部分线性变量含误差的网格数据模型解释变量为固定设计的情形下，分别在单向维度观测样本容量趋于无穷和两个维度观测样本容量同时趋于无穷时对模型线性部分的未知参数、误差方差和非线性部分的未知函数进行了大样本统计推断研究。对模型线性部分未知参数和误差方差的改进的最小二乘估计量，在较弱的条件下推出估计量具有强相合性并得到收敛速度；对模型非线性部分未知函数的样条函数估计量，在一定的条件下证明了其具有强相合性并得到其收敛速度。在一定的正则条件下，分别对单向维度观测样本容量趋于无穷和两个维度观测样本容量同时趋于无穷的两种情形证明了模型线性部分未知参数和误差方差的估计量服从渐近正态分布，并对每种情形给出了渐近方差的表达式。

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求解带有不连续波数的二维变系数 Helmholtz 方程的一种高精度紧致差分方法

王芳, 冯秀芳

2022 (1): 120-134. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.009

摘要 ( 61 )

PDF(202KB) ( 44 )

很多实际物理问题都可以由带有不连续波数的变系数 Helmholtz 方程进行数值模拟。Helmholtz 方程的数值方法研究是热点问题之一，具有重要的理论和实际意义。由于波数的不连续性，使用传统的有限差分方法求解带有不连续波数的 Helmholtz 方程时通常无法达到原有差分格式的精度。结合浸入界面方法的思想，对带有不连续波数的二维变系数 Helmholtz 方程构造了一类新的四阶紧致有限差分格式，数值实验验证了新方法的可靠性和有效性。

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非线性分数阶耦合泛函微分方程组边值问题的可解性

乔若楠, 刘锡平, 贾梅

2022 (1): 135-147. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.010

摘要 ( 53 )

PDF(182KB) ( 33 )

由于运动速度是有限的，因此在信号传输等过程中时滞现象往往是不可避免的。分数阶泛函微分方程是研究时滞系统运动规律的重要模型，当系统中具有两个或多个状态变量且这些状态变量相互作用时，常常运用耦合微分方程组来刻画。对一类具有 Riemann-Liouville 分数阶导数的非线性时滞耦合泛函微分方程组边值问题正解的存在唯一性进行了研究。首先，根据方程与边界条件的特点，建立了比较定理，构造了上解与下解的单调序列，并确定了上下解的关系。运用上下解的方法建立并证明了边值问题正解的存在性定理，同时得到了正解的取值范围。然后，利用迭代技术建立并证明了边值问题正解的存在唯一性定理。最后，给出了具体例子用于说明所得主要结论的适应性与广泛性。

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带有多项分数阶导数的微分方程边值问题解的存在性

李建利, 陈丽珍, 李刚

2022 (1): 148-158. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.011

摘要 ( 48 )

PDF(166KB) ( 45 )

自然科学中的许多实际问题可以用分数阶微分方程模型来描述，并且分数阶微积分和分数阶微分方程已经成为处理某些实际问题的重要数学工具。利用压缩映象原理、Krasnoselskii不动点定理和非紧测度理论研究一类带有混合边值条件的分数阶微分方程，并获得了非线性项在满足不同的条件下方程解的存在性和唯一性结果。这些结果推广了经典的 Bagley-Torvik 方程及相关模型解的存在性定理。

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磁通 e-HR 神经元模型的放电行为及同步控制

马杰, 高洁, 独盟盟, 杨丽新

2022 (1): 159-170. doi: 10.3969/j.issn.1005-3085.2022.01.012

摘要 ( 47 )

PDF(1786KB) ( 34 )

以 e-HR 神经元模型为基础，在考虑外界电磁场对神经元膜电位变化的影响下构建磁通 e-HR 神经元模型。首先，利用盛金公式来求得磁通 e-HR 神经元模型平衡点个数以及对其平衡点稳定性进行了研究，同时进一步利用分岔理论找出系统发生分岔时的条件。其次，通过改变外加刺激电流以及磁通反馈增益，发现神经元呈现出簇放电、周期放电等多种放电模式。此时平衡点的不稳定状态对应为神经元放电模式；稳定状态对应静息模式，即不放电模式。最后，基于Lyapunov稳定理论设计自适应控制器，通过理论分析和数值仿真证明了控制器的有效性与可行性。

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