图的多彩染色问题是图论中的热点问题,它可应用于诸如电力网络的最优重新配置中多代理系统的通讯问题。图$G$的$(k,r)$-染色是图$G$的一个正常$k$-染色($k,r$为正整数),并满足图$G$中的每一个顶点的邻点的颜色数至少为这个顶点的度$d(v)$和$r$的最小值。使得图$G$有$(k,r)$-染色的最小整数$k$称为图$G$的$r$-多彩色数,用$\chi_{r}(G)$表示。研究了圈与路的笛卡尔乘积图$C_{m}\Box P_{n}$的$r$-多彩染色,得到了该类图的$r$-多彩染色数。