矩阵Schur补是矩阵理论及其应用中的一个重要内容，具有广泛的应用背景。严格双对角占优矩阵是一类十分重要的特殊矩阵，流体力学的计算、材料模拟与设计、电磁场计算等领域与其有着密不可分的联系。对严格双对角占优矩阵的研究主要集中在两个方面：严格双对角占优矩阵的Schur补的特征值定位；严格双对角占优矩阵Schur补的逆的无穷范数估计。首先，给出了严格双对角占优矩阵的Schur补的双对角占优度的新下界估计式；然后，利用所给估计式获得了严格双对角占优矩阵Schur补新的特征值包含集和严格对角占优矩阵Schur补的逆的无穷范数的新上界。数值例子表明所获结果改进了一些现有结果。

提出了一种求解余弦激励下分数阶振子系统位移响应的解析和数值算法。其中解析方法是用平均法来求出系统的稳态响应解和瞬态响应解，总位移响应解即为稳态解和瞬态解的总和。提出一种数值方法，利用Gr$\ddot{\rm u}$nwald-Letnikov分数阶导数的定义将系统中的分数阶微分项进行离散化处理，降低了原系统阶数。在一般的周期激励下，系统的近似响应解可以采用傅里叶级数展开法和线性系统叠加原理得到。最后，利用数值模拟对所提方法的有效性和可行性进行了验证，并对分数阶阶次、线性阻尼系数和分数阶导数系数对系统稳态响应振幅和总位移响应的影响进行了分析。

基于求解PageRank向量的内外迭代格式，引入一个松弛因子得到一种松弛内外迭代方法。结合已有的多步分裂迭代框架，引入两个不同的松弛因子，提出了求解PageRank向量的松弛多步分裂迭代方法并分析了算法的收敛性。更进一步地，利用松弛内外迭代格式构造了加速投影子空间方法的预处理矩阵，理论分析相关谱分布情况，并给出了松弛多步分裂迭代方法及预处理矩阵中参数的选取准则。几个数值例子验证了松弛多步分裂迭代方法和预处理矩阵的有效性，通过选取合适的松弛因子，与多步分裂迭代方法相比具有更高的运算效率。

主要研究了部分线性变系数空间自回归模型的变量选择问题。结合拟最大似然方法、局部线性光滑方法以及一类非凸罚函数，提出了一个变量选择方法用于同时选择该模型的参数部分中重要解释变量和估计相应的非零参数。大量模拟研究表明，所提出的变量选择方法具有满意的有限样本性质，并且关于空间权矩阵的稀疏度、空间相关强度、系数函数的复杂度以及误差分布的非正态性非常稳健。特别地，当样本容量较大且罚函数选择合适时，即使解释变量的相关性较强或者模型中含有较多不重要解释变量，所提出的变量选择方法仍然具有比较满意的有限样本性质。通过分析波士顿房屋价格数据考察了所提出的变量选择方法的实际应用效果。

奖励函数设计的合理性对于提升深度强化学习算法的性能至关重要。针对投资组合管理任务，识别并解决了现有奖励函数的两大缺陷：一是过度关注短期市场波动而忽略长期趋势；二是对带来奖励和造成损失行为的奖惩相当，这并不符合投资者的损失厌恶心理。为此，借鉴行为金融学中的投资者损失厌恶理论，创新性地提出了一种多步损失厌恶 (Multi-step Loss Aversion, MSLA) 奖励函数，以更准确地刻画投资者在交易中的行为模式，并据此构建了在线投资组合管理策略。选取A股市场上三个具有代表性的指数，构建了相应的投资组合，在2019年至2023年的历史数据上进行了回测实验。实验结果表明，MSLA奖励函数显著提升了策略的整体性能，从累计收益率、夏普比率和最大回撤等指标来看，普遍优于现有的其他算法。此外，该策略不仅适用于不同市值大小股票组成的投资组合，而且在上涨、下跌和震荡的市场状态下均能保持稳健的性能，这充分说明了该算法在投资组合管理中的有效性和实用性。

研究了基于游离病毒和细胞-细胞两种传播机制和适应性免疫的多时滞HIV动力学模型，计算出模型存在五个平衡点和五个基本再生数。通过构造适当的Lyapunov函数，得到了模型的五个平衡点全局渐近稳定的充分条件。发现将一个时滞$\tau_3$作为分支参数，可引起两个平衡点$\widetilde{E}_2$和$\widetilde{E}_4$失稳，并产生Hopf分支。结果说明$\tau_3$可导致病毒载量出现周期振荡和免疫反应可降低感染风险。最后利用数值模拟验证所得结论，并对比了不同时滞参数对$\widetilde{E}_2$和$\widetilde{E}_4$的稳定性影响。

艾滋病 (AIDS) 是人类感染 HIV 病毒而导致免疫系统受到破坏的一种危害性极高的传染病，同性恋是传播HIV的重要途经之一。考虑到男男性行为 (MSM) 的传播特征，以及环境中随机因素的影响，一个基于MSM群体的随机HIV/AIDS传染病动力学模型被建立。利用随机微分方程的基本理论，分析了系统的动力学行为。首先，对于任意给定的正初值，证明了系统存在唯一的全局正解。从生物学的角度来看，这是必须成立的，这一结论确保了理论研究的合理性。进一步，鉴于在研究传染病模型的动态变化时，讨论疾病的消失与流行具有重要的应用价值。因此，对所建立的随机HIV/AIDS动力学模型中疾病的灭绝与流行进行了重点分析。特别地，利用伊藤公式，并通过构造一些特殊的函数，给出了疾病灭绝的充分条件；研究了系统唯一正的遍历平稳分布的存在性，即疾病盛行的存在性。最后，通过数值模拟，验证了疾病灭绝和盛行的理论结果，并通过与确定性系统的理论结果相比较，分析了随机扰动对系统动力学行为的影响。

具有避难效应的捕食-食饵反应扩散模型是一类重要的种群动力学模型，其斑图形态为研究种群数量时空分布提供关键信息。建立了一个具有避难效应和非局部被捕食效应的Leslie-Gower捕食-食饵反应扩散模型。首先，通过线性稳定性分析和Turing失稳分析分别推导出正平衡点局部稳定及Turing失稳的条件。其次，通过数值模拟分别展示了食饵斑图形态随非局部被捕食效应和避难效应变化而演化的情况。最后，通过分析捕食者和食饵种群空间平均密度与非局部被捕食效应和避难效应参数的变化关系，研究表明：食饵种群数量随着非局部效应的增强而增大，捕食者种群数量随着非局部效应的增强而减少，说明非局部被捕食效应在促进食饵密度增长的同时，抑制捕食者种群的增长；捕食者和食饵种群的数量均随避难效应的增强而增大，说明较强避难效应对食饵种群具有庇护作用，并能促进捕食者和食饵种群持续共存。结论有助于人们更好地从数学层面理解非局部效应和避难效应对捕食者和食饵种群斑图形态影响的规律。

利用渐近传播速度理论，研究了一类模拟时间周期变化传播环境中疾病传播的SIRS反应扩散传染病模型的渐近传播性质。区别于已有针对SI二维系统的传播速度的结果，该模型中R仓室无法解耦于整个系统，为此需要克服高维和非自治性耦合带来的困难，以证明高维系统渐近传播速度的存在性。首先，借助单调系统渐近传播速度的抽象理论和比较原理证明了染病者I仓室在疾病未入侵区域的传播性质，以此结论为基础，利用整体解结合最大值原理进一步验证了恢复者R仓室在未入侵区域具有类似的传播性质。其次，分别对I和R方程运用比较原理结合一致持久思想和最大值原理分析了其在疾病已入侵区域的一致持久性。由此，得到了划分这两个变化区域的渐近传播速度阈值，即证明了整个系统渐近传播速度的存在性。最后，利用数值方法进一步模拟了时间周期传播环境下疾病已入侵区域更具体的传播动态。

潘勒韦方程是典型的非线性微分方程，应用广泛。复方法结合了复分析和微分方程理论，是求解非线性微分方程亚纯解的有效方法。利用复方法证明了与第三类潘勒韦方程相关的广义代数微分方程的亚纯解属于$W$类，并得到了该方程的亚纯解。通过适当的变换以及应用所得的结果，得到了修正的double sine-Gordon方程和修正的Kortweg-de-Vries (mKdV) 方程的$W$类亚纯精确解，并得到了相关非线性偏微分方程的非$W$类亚纯精确解。众所周知，使用基于行波变换等变换以及与第三类潘勒韦方程相关的广义代数微分方程的亚纯解，便于寻求其他相关的数学物理方程的亚纯精确解。在今后的工作中，可进一步对其他类别的潘勒韦方程相关的广义代数微分方程的亚纯解及应用进行研究。

传统基于图的故障诊断框架通常是利用高维数据某种结构关系构造相似图以揭示样本间的几何结构，造成数据其他结构信息丢失，无法准确提取出表征轴承运行状态的低维特征。提出了一种新的基于图的无监督特征提取方法，该方法在构造图的过程中同时考虑了高维数据的全局和局部结构，称为全局–局部图嵌入，该方法首先利用数据的全局结构信息构造一个无向图。然后，通过构造局部结构信息赋予无向图中边相应的权重，得到一个全局–局部图联合表示凸优化问题，并根据得到权重评估样本间的相似性。最后，通过在低维空间中保持样本间的相似性不变计算低维嵌入结果。相较于单一的图结构表示法，构造的全局–局部联合图充分利用了高维数据固有的全局和局部结构信息。此外，通过保持样本间的相似性能有效提取出高维轴承数据的本质特征，实验结果表明，提出的基于全局–局部图嵌入的特征提取方法较现有的方法具有明显优势。

草地贪夜蛾是从2019年开始入侵我国的一种害虫，主要以玉米和小麦等农作物为食，给农业生产造成了巨大的损失，已引起农业部门的高度重视。为揭示草地贪夜蛾的种群特征及其在我国的分布规律，首先利用一个新的常微分系统模拟该种群在不同年龄阶段的演化过程；接着利用稳定性理论求解种群再生数，并严格给出种群灭绝和持续生存的条件；最后基于带温度表达式的模型参数量化温度对草地贪夜蛾生存的影响权重，并估计其在我国各省的时空分布模式。研究发现温度对草地贪夜蛾的生长发育和迁移有重大影响，当温度低于19.6$^{\circ}$C或者高于35.7$^{\circ}$C时，草地贪夜蛾将会无法生存，较适宜的温度是在24$\sim$28$^{\circ}$C之间，在24.3$^{\circ}$C时整个物种繁殖发育最快，种群对过高或过低的温度就会越敏感，而压制整个种群数量最有效的方法是降低产卵率和加大成虫死亡率。